Прежде всего, нет никакой ответственности за непостановку на воинский учет. Но вместе с тем, теперь можно ставить на учет без личной явки. Так что теоретически военкомат может поставить Вас на учёт, получив данные от другого ведомства, после запуска электронного реестра военнообязанных.

Также нужно помнить, что Ваше приобретенное гражданство не равно гражданству по рождению. На Вас могут давить, склонять к подписанию контракта, угрожая лишением гражданства. Помните, это незаконно, за отказ о подписания контракта ответственности не предусмотрено.

Что касается требований работодателя, то это его обязанность отчитываться в военкомат о сотрудниках, вручать повестки и отправлять Вас в военкомат. Но ваш отказ никак не может повлиять на дальнейшую работу. За это вас не смогут ни привлечь к дисциплинарной ответственности, ни уволить. Помните, соблюдение требований по воинскому учету не относится к трудовым обязанностям работника.

Если вы пойдете в военкомат, подготовьте медицинские документы, подтверждающие наличие проблем со здоровьем (если таковые есть). Это нужно, чтобы ваши медицинские проблемы учли при выставлении категории годности для зачисления в запас. После зачисления в запас вы можете подлежать призыву на военные сборы и, в будущем, по мобилизации. 

Как защититься от военных сборов, смотрите здесь. Активные мобилизационные мероприятия, насколько нам известно, сейчас не проводятся.