Здравствуйте!

Отсутствие у сотрудника военного билета ничем не грозит работодателю, потому что работодатель не может нести ответственность за действия сотрудника, не связанные с исполнением им трудовых обязанностей. Роль работодателя в этом вопросе заключается лишь в том, что он должен передать в военный комиссариат сведения о сотрудниках, в том числе о сотрудниках без военного билета. 

При этом отсутствие военного билета будет проблемой для получения бронирования, поскольку бронированию подлежат только граждане, находящиеся в запасе Вооруженных сил РФ. В запас гражданин переводится решением призывной комиссии, а затем ему выдается военный билет. Во всех документах, которые регулируют вопросы бронирования, прямо указывается на необходимость военного билета или справки, взамен военного билета ("справки уклониста").

Никаких проблем у гражданина в связи со сменой военкоматов не будет. Зачислить в запас (выдать военный билет) - это прямая обязанность военного комиссариата, а не гражданина. Если военный комиссариат в Иркутске не организовал процедуру зачисления в запас, если военкомат в Дмитровске не организовал процедуру зачисления в запас, - это их вина, а не ваша. 

Вы можете получить военный билет в военном комиссариате по месту жительства (по временной и постоянной регистрации). Если ваш муж сейчас состоит на воинском учете в Московской области, а хочет получить военный билет в Москве, - ему нужно идти в подходящий военный комиссариат в Москве и вставать там на воинский учет, а затем - подавать заявление на зачисление в запас, проходить медицинское освидетельствование и участвовать в заседании призывной комиссии, которая примет решение о зачислении в запас. После этого военный комиссариат выдаст военный билет. 

По поводу последнего вашего вопроса. Получать военный билет или нет, - решать вам. Скорее всего работодатель будет и дальше давить, чтобы вы получили военник. И хотя это не очень законно, но по факту приятного мало. Получение военника - повысит шансы мобилизации, если она будет. Но и без военника шансы довольно высокие, поскольку в ноябре обещают запустить электронный реестр военнообязанных и в запас будут зачислять онлайн. В общем, возможно лучше исходить из текущих потребностей и получить военный билет.